1
Expresiones Algebraicas
🔤 ¿Qué es una expresión algebraica?
Al resolver problemas, las cantidades desconocidas se representan mediante letras llamadas variables o incógnitas. Las expresiones formadas con letras y números siguiendo reglas aritméticas son las expresiones algebraicas.
Una expresión algebraica combina números y letras mediante operaciones (+, −, ×, ÷, potencias). Pueden ser monomios, polinomios, identidades o ecuaciones.
Tipos principales:
- Monomios: 7x³, −(3/2)x, 4πr²
- Polinomios: 5x³ − 2x + 11, 2πrh + 2πr²
- Identidades: igualdades ciertas para cualquier valor de x
- Ecuaciones: igualdades ciertas solo para ciertos valores
🌊 Traducir al lenguaje algebraico
Transformar un enunciado verbal en expresión algebraica es fundamental. Hay que identificar qué es lo desconocido y qué relaciones hay entre las cantidades.
| Enunciado | Expresión algebraica |
|---|---|
| El triple de un número menos cuatro unidades | 3x − 4 |
| La mitad de un número aumentada en 3 | x/2 + 3 |
| El 35% de una cantidad | 0,35·x |
| El doble del resultado de sumar tres unidades a un número | 2(x + 3) |
| El cuadrado de la diferencia de dos números | (x − y)² |
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2
Monomios
🔵 ¿Qué es un monomio?
Un monomio es el producto de un número (coeficiente) por una o varias letras (parte literal). Ejemplos: 7a², −(4/5)xy², (5+√2)x⁵
- El coeficiente es el número que multiplica a la parte literal.
- El grado es el número total de factores literales (suma de exponentes).
- Dos monomios son semejantes cuando tienen idéntica parte literal.
- Los números son monomios de grado cero (x⁰ = 1).
➕ Operaciones con monomios
+
Suma/resta: Solo se pueden sumar monomios semejantes. Se suman los coeficientes y se mantiene la parte literal. Ej: 7x⁵ + 11x⁵ = 18x⁵
×
Producto: Se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de la misma letra. Ej: (3ab²)·(5a²c) = 15a³b²c
÷
Cociente: Se dividen los coeficientes y se restan los exponentes. Ej: (3x⁵y) ÷ (6x²y⁴) = (1/2)x³y⁻³ = x³/(2y³)
Ejemplo
(2/3 x³)·(−6x) = (2/3 · −6)·x³⁺¹ = −4x⁴
(7xy²)·(2y) = 14xy³
(5xyz)·(−3x²z) = −15x³yz²
(7xy²)·(2y) = 14xy³
(5xyz)·(−3x²z) = −15x³yz²
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3
Polinomios
📐 Definición y grado
Un polinomio es la suma de dos o más monomios (llamados términos). Un monomio puede considerarse polinomio con un solo término.
- El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus monomios (en forma reducida).
- El valor numérico para x = a es el número que se obtiene al sustituir x por a.
- Si el valor numérico para x = a es 0, entonces a es una raíz del polinomio.
- Cuando hay monomios semejantes, se simplifica (forma reducida).
➕ Suma y resta de polinomios
Para sumar, se agrupan los monomios semejantes y se suman. Para restar, se suma el primero con el opuesto del segundo (se cambian todos los signos del que se resta).
Ejemplo — Suma
A = 6x² − 4x + 1
B = x³ + 2x² − 11
A + B = x³ + 8x² − 4x − 10
B = x³ + 2x² − 11
A + B = x³ + 8x² − 4x − 10
Ejemplo — Resta
A − B = 6x² − 4x + 1 − (x³ + 2x² − 11)
= −x³ + 4x² − 4x + 12
= −x³ + 4x² − 4x + 12
⭐ Productos notables — ¡Los más importantes!
Memoriza estas tres identidades. Aparecen constantemente:
Cuadrado de una suma, cuadrado de una diferencia, suma por diferencia.
I. (a + b)² = a² + 2ab + b² — Cuadrado de una SUMA
II. (a − b)² = a² − 2ab + b² — Cuadrado de una DIFERENCIA
III. (a + b)(a − b) = a² − b² — SUMA por DIFERENCIA
II. (a − b)² = a² − 2ab + b² — Cuadrado de una DIFERENCIA
III. (a + b)(a − b) = a² − b² — SUMA por DIFERENCIA
Ejemplos
(x + 5)² = x² + 10x + 25
(5x − 3)² = 25x² − 30x + 9
(4x − 3)(4x + 3) = 16x² − 9
(5x − 3)² = 25x² − 30x + 9
(4x − 3)(4x + 3) = 16x² − 9
🔑 Sacar factor común
Consiste en escribir un polinomio como producto extrayendo el factor que aparece en todos los términos:
3xy + 6x²z + 9xyz = 3x(y + 2xz + 3yz)
Cuando un sumando coincide con el factor común, queda multiplicado por 1.
Ejemplo
xy + x² + x = x(y + x + 1)
5x² − 15x³ + 25x⁴ = 5x²(1 − 3x + 5x²)
5x² − 15x³ + 25x⁴ = 5x²(1 − 3x + 5x²)
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4
Identidades
🟡 ¿Qué es una identidad?
Una identidad es una igualdad algebraica que es cierta para cualquier valor de las letras que intervienen. Se diferencia de la ecuación en que la ecuación solo es cierta para algunos valores concretos.
Los productos notables son identidades. También lo son las propiedades aritméticas:
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
a · (x + y) = ax + ay
a − (b + c) = a − b − c
a · (x + y) = ax + ay
a − (b + c) = a − b − c
🔧 Utilidad: simplificar expresiones
Las identidades permiten transformar una expresión algebraica en otra más sencilla pero equivalente. Por ejemplo:
Ejemplo — Simplificar usando identidades
(x + 5)² − (x − 3)² =
① Cuadrado de suma: (x² + 10x + 25) − (x² − 6x + 9) =
② Quitar paréntesis: x² + 10x + 25 − x² + 6x − 9 =
③ Reducir semejantes: 16x + 16 = 16(x + 1)
✅ Resultado: 16(x + 1)
① Cuadrado de suma: (x² + 10x + 25) − (x² − 6x + 9) =
② Quitar paréntesis: x² + 10x + 25 − x² + 6x − 9 =
③ Reducir semejantes: 16x + 16 = 16(x + 1)
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5
División de Polinomios
÷ División entre un monomio
Se divide cada término del dividendo entre el monomio divisor:
(4x⁵ − 3x³ + 2x²) ÷ 3x² = (4/3)x³ − x + 2/3
📋 División de dos polinomios
Similar a la división entera de números. Al dividir P(x) entre Q(x) se obtiene cociente C(x) y resto R(x), donde se cumple:
P(x) = Q(x) · C(x) + R(x)
El grado del resto es siempre menor que el grado del divisor
El grado del resto es siempre menor que el grado del divisor
Si R(x) = 0, la división es exacta y decimos que P(x) es divisible por Q(x).
1
Ordenar el dividendo de mayor a menor grado. Dejar huecos si faltan términos.
2
Dividir el primer término del dividendo entre el primer término del divisor → primer término del cociente.
3
Multiplicar ese término del cociente por el divisor completo y restar al dividendo.
4
Bajar el siguiente término y repetir. Parar cuando el grado del resto sea menor que el del divisor.
R
Regla de Ruffini
⚡ ¿Qué es Ruffini?
La regla de Ruffini es un método abreviado para dividir un polinomio entre un binomio del tipo (x − a). Solo usa los coeficientes y es mucho más rápido que la división larga.
Solo funciona cuando el divisor es (x − a)
Si el divisor es (x + 5), entonces a = −5. Si es (x − 3), entonces a = 3.
📋 Pasos de Ruffini
1
Escribe los coeficientes del dividendo en fila (con 0 si falta algún término). A la izquierda, escribe el valor a.
2
Baja el primer coeficiente.
3
Multiplica ese número por a y ponlo debajo del siguiente coeficiente.
4
Suma y repite: multiplica el resultado por a, ponlo debajo del siguiente, suma…
5
El último número es el resto. Los demás son los coeficientes del cociente (grado = grado dividendo − 1).
Ejemplo — (7x⁴ − 11x³ − 94x + 7) ÷ (x − 3)
Coeficientes: 7, −11, 0, −94, 7 (el 0 es porque falta x²)
a = 3
3 │ 7 −11 0 −94 7
│ 21 30 90 −12
└──────────────────────
7 10 30 −4 −5
Cociente: 7x³ + 10x² + 30x − 4
Resto: −5
✅ C(x) = 7x³ + 10x² + 30x − 4 · R = −5
a = 3
3 │ 7 −11 0 −94 7
│ 21 30 90 −12
└──────────────────────
7 10 30 −4 −5
Cociente: 7x³ + 10x² + 30x − 4
Resto: −5
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✏️
Ejercicios para Practicar
🌊 Bloque 1 · Traducción al lenguaje algebraico
1
Escribe la expresión algebraica
El doble de un número menos su tercera parte.
2
Escribe la expresión algebraica
El producto de dos números consecutivos.
3
Escribe la expresión algebraica
La mitad de un número aumentada en 3.
4
Escribe la expresión algebraica
El cuadrado de la diferencia de dos números.
🔵 Bloque 2 · Monomios
5
Indica el grado y si son semejantes
−5xy²z³, 11xy², −12
6
Suma los monomios semejantes
5x + 3x² − 11x + 8x − x² + 7x
7
Calcula el producto
(6x²)(−3x) =
(2xy²)(4x²y) =
(2xy²)(4x²y) =
8
Simplifica el cociente
5x⁴y / 3xy² =
5x⁴y² / 3x³y =
5x⁴y² / 3x³y =
📐 Bloque 3 · Polinomios: suma, resta y productos notables
9
Simplifica y halla el grado
x⁶ − 3x⁴ + 2x² + 3
5x² + x⁴ − 3x² − 2x⁴ + x³
5x² + x⁴ − 3x² − 2x⁴ + x³
10
Siendo A = 5x³ − 2x + 1, B = x⁴ − 2x² + x − 2. Calcula:
a) A + B
b) A − B
c) B − A
b) A − B
c) B − A
11
Desarrolla los productos notables
(x + 6)²
(7 − x)²
(3x − 2)²
(7 − x)²
(3x − 2)²
12
Desarrolla (suma × diferencia)
(x + 7)(x − 7)
(3 + 4x)(3 − 4x)
(ax + b)(ax − b)
(3 + 4x)(3 − 4x)
(ax + b)(ax − b)
13
Multiplica monomio por polinomio
3x²·(x³ − 2x² + 1)
−2xy·(x + y − 3)
−2xy·(x + y − 3)
14
Extrae factor común
5x³ + 3x²
2x⁴ − 6x²
2x + 3x² + x⁵
2x⁴ − 6x²
2x + 3x² + x⁵
⚡ Bloque 4 · División y Ruffini
15
División entre monomio
(12x²y − 9xy) : 3x
(18x⁵ − 12x³ + 6x²) : 6x²
(18x⁵ − 12x³ + 6x²) : 6x²
16
Aplica la Regla de Ruffini
(x² − 5x + 6) : (x − 2)
(x³ − 3x² + 5) : (x + 1)
(x³ − 3x² + 5) : (x + 1)
17
¿Es P(x) divisible por Q(x)?
P(x) = x³ − 13x + 12
Q(x) = x − 1
Aplica Ruffini.
Q(x) = x − 1
Aplica Ruffini.
18
División de polinomios (larga)
(6x⁴ + 8x² + 7x + 40) : (2x² − 4x + 5)
✅ Soluciones de los Ejercicios
⚠️ Intenta resolver primero. ¡Solo mira si te has atascado!
Bloque 1 · Traducción
Ej. 1
El doble menos su tercera parte
2x − x/3
Ej. 2
Dos números consecutivos
n · (n + 1)
Ej. 3
Mitad de un número más 3
x/2 + 3
Ej. 4
Cuadrado de la diferencia
(x − y)²
Bloque 2 · Monomios
Ej. 5
Grados: 6, 3, 0. No son semejantes
Ninguno semejante entre sí
Ej. 6
5x + 3x² − 11x + 8x − x² + 7x
2x² + 9x
Ej. 7
(6x²)(−3x); (2xy²)(4x²y)
−18x³ ; 8x³y³
Ej. 8
5x⁴y / 3xy² ; 5x⁴y² / 3x³y
5x³/(3y) ; 5xy/(3)
Bloque 3 · Polinomios
Ej. 9
Simplificar
x⁶−3x⁴+2x²+3, grado 6
−x⁴+x³+2x², grado 4
−x⁴+x³+2x², grado 4
Ej. 10
A+B, A−B, B−A
A+B = x⁴+5x³−2x²−x−1
A−B = −x⁴+5x³+2x²−3x+3
A−B = −x⁴+5x³+2x²−3x+3
Ej. 11
Cuadrados notables
x²+12x+36
49−14x+x²
9x²−12x+4
49−14x+x²
9x²−12x+4
Ej. 12
Suma × diferencia
x²−49
9−16x²
a²x²−b²
9−16x²
a²x²−b²
Ej. 13
Monomio × polinomio
3x⁵−6x⁴+3x²
−2x²y−2xy²+6xy
−2x²y−2xy²+6xy
Ej. 14
Factor común
x²(5x+3)
2x²(x²−3)
x(2+3x+x⁴)
2x²(x²−3)
x(2+3x+x⁴)
Bloque 4 · División y Ruffini
Ej. 15
División entre monomio
4xy−3y
3x³−2x+1
3x³−2x+1
Ej. 16
Ruffini
C=x−3, R=0
C=x²−4x+4, R=1
C=x²−4x+4, R=1
Ej. 17
P(x)÷(x−1)
Resto=0 → Sí es divisible
Ej. 18
División larga
C = 3x²+6x+17/2
R = 11x−5/2
R = 11x−5/2